Heinrich Karl Jaup wurde am 27. September 1781 als Sohn einen Rechtsprofessors in Gießen geboren. Wie sein Vater studierte er Jura und folgte ihm im Jahr 1806 auf den Lehrstuhl. 1808 war Jaup Teil der hessischen Delegation bei der Gießener Konferenz, die die Einführung des „Code Napoléon“ in Rheinhessen beschloss. Er trat 1815 als Geheimer Referendär in den hessischen Staatsdienst ein und beteiligte sich 1820 maßgeblich an der Abfassung der neuen Staatsverfassung. Im selben Jahr wurde er Geheimer Staatrat und arbeite seit 1821 im Ministerium des Äußeren. Hier war er besonders mit den Beziehungen zum Deutschen Bund befasst, wobei seine liberalen Ansichten dazu führten, daß er sein Amt auf Druck Metternichs verlor. 1824 wurde er Präsident der Gesetzgebungskommission, wechselte aber schon bald in das Präsidium des provisorischen Kassations- und Revisionshofs der Provinz Rheinhessen. Diese Institution wurde im Jahr 1832 auf Betreiben des erzkonservativen Ministerpräsidenten Du Thil aufgelöst, um ihren wachsenden Einfluss auf die hessische Rechtssprechung zu unterbinden. Im Juni kandidierte Jaup, der als entschiedener Verfechter der Rheinischen Institutionen und Gegner der repressiven Bundespolitik galt, bei den Wahlen zur 2. hessischen Kammer und wurde Abgeordneter für den Wahlbezirk Friedberg. Du Thil löste auch diese Kammer auf. Bei drei aufeinanderfolgenden Wahlen verweigerte die Regierung Jaup praktisch die Kandidatur und versetzte ihn 1833 schließlich in den vorzeitigen Ruhestand. Zwar blieb er Mitglied des Darmstädter Stadtrats, engagierte sich in mehreren Vereinen und arbeitete am Rotteck-Welckerschen Staatslexikon mit, hatte aber darüber hinaus keinen politischen Handlungsspielraum mehr.